G. T.

1. válasz: Szimmetriaokokból nyilvánvaló, hogy a Föld középpontjában a gravitáció nulla (most csak a Föld gravitációját tekintjük). Ássunk le 5000 km mélységbe. Mit látunk? Semmit. De el tudjuk képzelni, hogy most egy kb. 1370 km sugarú kicsi földgömbön állunk,  és körülvesz minket egy 5000 km vastag gömbhéj. Nyilván érezni fogjuk a kicsi földgömb gravitációját, az pedig nem túl bonyolult számítással kimutatható, hogy a gömbhéj gravitációja a gömbhéjon belül 0. Mennyi mármost a kicsi gömb gravitációja?

Newton áldott emlékû törvényei szerint:

                    m·a=gamma·m·M/R²

Itt m a mi tömegünk, a a gravitációs gyorsulás, gamma a gravitációs állandó, M a gömb tömege, R a sugara.
A gömb tömegét a sûrûségével kifejezve:

                    M=(4/3)p·R³·sûrûség

Behelyettesítve az elõzõ képletbe, az állandók szorzatát c-vel jelölve:

                    a=c·R

Milyen szép és egyszerû!!! Tehát a gravitációs gyorsulás a Föld középpontjától kifelé haladva lineárisan nõ a felszínig (ahol g). g-vel kifejezve, 5000 km mélységben:

                    a=g · (1370/6370)

Hodászi Tamás

A gravitációs erõ lényege, hogy minden tömeggel rendelkezõ test hat minden más tömegre, s ez a hatás kölcsönös. Tehát ha valaki 5000 km-rel áll a Föld felszíne alatt, akkor elvileg
– ez a valaki hat a Föld részeire, ám ez nyilván elhanyagolható,
– az alatta és a felette lévõ tömeg is hat rá, felfelé és lefelé egyaránt vonzva emberünket. A helyzet azonban ennél trükkösebb.

Ugyanis ha a Földet gömbszimmetrikus testként értelmezzük (ami nem helyes, de terjedelmi okokból most ennél maradunk), akkor a felettünk lévõ gömb-réteg, másként tulajdonképpen egy üres gömb, esetleg gömbhéj vonzóhatása éppen 0. Vagyis csak az alatta lévõ test tömegvonzása hat emberünkre.

Két kérdésünk tehát:
Mibõl adódik ez a trükk, illetve mekkora az alatta lévõ test tömegvonzása?

A trükk magyarázata röviden a következõ.

Képzeljük magunkat a gömbhéj belsejébe, de ne középre, hanem például félúton a középpont és a héj belsõ fala közé. Ekkor egyik irányba tekintve közelebb, másik irányba távolabb van a fal. Adott térszögbe tehát a közelebb lévõ fal kisebb területe esik bele, másként a szemünk látószöge által meghatározott látómezõben a távolabbi falnak nagyobb területe látszik. Fontos, hogy látómezõnk elméletileg kör alakú, tehát egy adott sugarú kört látunk a falból. E kör sugarát jelölje r.

Próbáljuk meg felírni a látómezõnkbe esõ gömbhéj kör alakú részletének vonzó hatását. A képlet: F = g · M · m / d², ahol
– g a gravitációs állandó,
– M a gömbhéj-részlet tömege (M = r² · p · átlagsûrûség)
– m az ember tömege,
– d pedig fal távolsága (a pontos számítást nagyon sok, infinitezimálisan kis vastagságú gömbhéj esetére kellene elvégezni, ehelyett azonban élhetünk a feltételezéssel, hogy a 0 vastagság-dimenziójú falat az 5000 km vastagságú gömbhéj tömegével ruházzuk fel).

Könnyû belátni, hogy minél közelebb vagyunk a falhoz (ez d-függõ), annál kisebb az r, vagyis annál kisebb falterület van a látómezõnkben. A kulcs, hogy d és r egymástól függnek, egymással arányosak: minél nagyobb d, annál nagyobb r is, a látómezõben látszó kör sugara. A kör területe azonban r² · p , vagyis ha d kétszeres, a kör területe kétszer kétszeresére, azaz négyszeresére nõ (mert r négyzetesen szerepel a képletben). Ha pedig d-t harmadára csökkentem, a látómezõ körének sugara a harmadára, területe pedig a kilencedére csökken.

Minél közelebb van a fal, annál kisebb részét vesszük figyelembe a számítás során. Mivel a látómezõbe esõ gömbhéjrészlet r sugara határozza meg annak tömegét, M-et, d négyzete arányos M-mel. Ha nõ d, nõ r és ezen keresztül M is, de az egyenes arányosság d négyzete és M között áll fenn.

Most nézzünk a másik irányba! Ha az egyik irányban közelebb van a fal, mint a gömbhéj belsõ sugara, akkor a másik irányba messzebb van ennél az értéknél. Míg tehát az egyik irányú vonzóerõ számításánál a gömbhéj sugaránál kisebb d-vel kell számolni, addig a másik irányban d nagyobb a gömbhéj sugaránál. Ezzel arányosan a két irányban figyelembe vett gömbhéj-területek nagysága és tömege is eltérõ: amelyik közelebb van, ott kisebb r és M, amelyik távolabb van, ott nagyobb r és M.

M = r² · p · átlagsûrûség, de r helyére beírható d egy korrekciós tényezõvel szorozva, mivel beláttuk, hogy egyenesen arányosak egymással. A fenti, F = g · M · m / d² képletbõl eltávolítva az állandókat ez azt jelenti, hogy F »  d² /  d². Tehát F értéke független d-tõl, mert annak négyzete a számlálóban és a nevezõben is szerepel, vagyis kiesik a számításból. Így F csak a gömbhéj és az ember tömegétõl függ, az iránytól és a faltól mért távolságtól függetlenül.

Így ha adott térszögbõl egységnyi erõ vonzza a megfigyelõt az egyik irányba, pontosan akkora erõ vonzza a másik irányba is, a középpontra szimmetrikus másik térszögbõl is. Beláttuk tehát, hogy a külsõ gömbhéj minden irányból azonos irányba vonzza a megfigyelõt, amelynek eredõ vonzó hatása 0, vagyis a külsõ gömbhéjnak nincs hatása a belsõ megfigyelõre.
Ez volt a trükk.

S végül, mekkora ezek után a Föld felszíne alatt, 5000 km mélyen a gravitációs erõ?

Bolygónk átlagos sugara 6371 km, így 5000 km mélyen 1371 km sugarú gömb van alattunk. Ez majdnem a belsõ, fémes mag határa, tehát itt már nem használhatjuk a Föld átlagsûrûségét, hanem a mag kb. 13 g/cm³ sûrûségével kell számolni.

M = R³ · p · 4 / 3 · mag sûrûsége = 1,4 · 10²³ kg.

Ezt helyettesítve az F = g · M · m / d² képletbe, m-et 75 kg-nak számolva:

F = 372,6 N (1 kg-ra ennek a 75-öd része az eredmény, a felszínen ez az érték pedig természetesen 750 N).

A nehézségi gyorsulás értéke pedig, a g = g · M / d² képlet alapján:

g = 4,968 m/s² (a felszínen a jól ismert 9,81 m/s² az eredmény).
 

Sik András